La mossa del cavallo

Il gioco dell’asta di un dollaro

Posted in Economia, Matematica by lollipop on dicembre 28, 2008

oneusd_both_sidesSapersi fermare al momento giusto è una grande capacità. Esistono numerosi esperimenti di psicologia comportamentale che illustrano come invece gli esseri umani si fanno trascinare in spirali da cui non riescono più a uscire.

Uno dei più famosi di questi giochi è quello descritto negli anni Settanta del secolo scorso da Martin Shubik, professore della Yale University.

Di questo gioco, ne parlano (solo riferendosi alla nostra biblioteca) almeno Avinash Dixit e Barry Nalebuff in “Io vinco tu perdi”, Laszlo Mero in “Calcoli morali” e Alberto Gandolfi in “La foresta delle decisioni”.

Il gioco è molto semplice: viene messa all’asta una banconota da un dollaro. Prezzo iniziale di un cent, e regola aggiuntiva che il banditore trattiene anche la cifra proposta dal secondo offerente. Shubik nelle sue pubblicazioni ha fatto notare che in base ai suoi esperimenti in occasioni di “raduni sociali” il biglietto da un dollaro veniva venduto in media per 3.40 dollari.

Il gioco è stato riproposto con numerose varianti in situazioni controllate e i risultati sono stati grossomodo sempre gli stessi.

Uno dei punti più importanti è quando il prezzo del dollaro supera i 50 centesimi, a quel punto è probabile che qualcuno si accorga che il banditore inizia a guadagnarci, ma qualcuno si trova a pensare, “posso ancora guadagnarci anch’io”, offrendo meno di un dollaro. Ma poiché c’è qualcuno che non vuole perdere la sua offerta, è molto probabile che si superi la soglia di un dollaro.

Entra in gioco il fenomeno psicologico dell’“Ho investito troppo per lasciare” (il titolo di un libro di A.I. Teger è “Too much invested to quit”, mentre un capitolo del libro di Gandolfi si intitola “Ho investito troppo per abbandonare proprio adesso”).
Laszlo Mero fa notare numerosi esempi del gioco nella vita quotidiana: indecisi tra due decisioni, ne prendiamo una e poi rimaniamo ad essa legati anche quando è chiaro che sarebbe preferibile cambiare. Aspettiamo l’autobus sempre più a lungo, anche se siamo in ritardo e non ci decidiamo a prendere un taxi, guardiamo un film noioso, e più lo guardiamo e più ci sentiamo in dovere di arrivare fino alla fine. Anche gli scioperi spesso seguono la logica della vendita all’asta di un dollaro, così come le gare d’appalto.

Il gioco della scommessa di un dollaro ha due soluzioni. Una è la collaborazione. I giocatori si accorgono subito del trucco insito del gioco, qualcuno offre un cent e nessuno rilancia. Questa soluzione è proposta da Dixit e Nalebuff: “Potreste pensare che questa storia non fa che comprovare la stoltezza degli studenti di Yale. Ma l’escalation degli arsenali di armi nucleari delle superpotenze è forse diversa? Entrambe sono incorse in costi di migliaia di dollari alla ricerca della vittoria del dollaro. La collusione, che in questo caso significa convivenza pacifica, rappresenta una soluzione molto più redditizia”.
L’altra soluzione, proposta da Laszlo Mero, consiste nell’affidarsi al caso. Ogni giocatore dovrebbe scegliere la sua offerta tra le opzioni ragionevoli in maniera casuale e poi non accettare il gioco dei rilanci.

Insomma l’unica cosa da non fare è quella di scivolare nella sindrome di Macbeth….

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Il caso_4 (Taleb e l’asino di Buridano)

Posted in Economia, Matematica by lollipop on maggio 22, 2008

 

Dell’utilizzo razionale del caso, Nassim Nicholas Taleb, trader e autore del libro “Giocati dal caso”, ha fatto un vero e proprio strumento di lavoro.

 

Taleb stesso ci dice che la migliore descrizione della mia attività nei mercati è “scommesse asimmetriche”. Cerco cioè di beneficiare degli eventi rari, eventi che non tendono a ripetersi frequentemente ma che di conseguenza, quando avvengono, pagano molto bene. Provo a guaadagnare in modo infrequente, quanto più infrequentemente possibile. … Uno degli strumenti più utilizzati da Taleb, per “giocare con l’incertezza”, è il metodo di Montecarlo. In pratica, Taleb, per prendere le sue decisioni, non tira uno, ma milioni di dadi!

 

Lasciamo spiegare allo stesso Taleb come si è originata la sua attività di scommettirore asimmetrico:

Il mio motore Montecarlo mi ha permesso di vivere diverse avventure interessanti. Mentre i miei colleghi erano immersi in motizie, annunci di banche centrali, rapporti sugli utili, previsioni economiche, risultati sportivi, e, non ultime, lotte di potere, iniziai a giocare con il motore in campi confinanti con la probabilità finanziaria. Per il dilettante, un naturale campo di applicazione è la biologia evoluzionistica: l’universalità del suo messaggio e le sue applicazioni ai mercati la rendono molto interessante. Cominciai a simulare popolazioni di animali mutanti chiamati Zorglub, soggette a condizioni climatiche variabili ,e a osservare le conclusioni più inaspettate. Il mio scopo, come dilettante puro in fuga dalla noia della vita professionale, era semplicemente di sviluppare un’intuizione per questo tipo di eventi, il tipo di intuizione che i dilettanti riescono a formarsi senza addentrarsi nella dettagliatissima sofisticazione del ricercatore professionista. … Naturalmente, una simualzione analoga alla fabbricazione di una popolazione di Zorglub consisteva nella creazione sotto regimi di mercato, per esempio boom e crolli, di una popolazione di “rialzisti idioti”, “ribassisti impetuosi” e trader prudenti, e nell’esaminare la loro sopravvivenza a breve e a lungo termine. In tale struttura, i “rialzisti idioti” che si arricchivano durante il boom usavano i guadagni per acquistare altre azioni, facendo rialzare ulteriormente i prezzi, fino alla loro disfatta finale. I trader ribassisti, per parte loro, non riuscivano neanche ad arrivarci al crollo. I miei modelli mostravano che quasi nessuno riusciva a guadagnare: i ribassisti cadevano come mosche durantre il boom, mentre i rialzsti finivano massacrati quando la musica si fermava e i profitti di carta, non realizzati, svanivano. Ma c’era un’eccezione: alcuni di quelli che facevano trading di opzioni (li chiamavo “compratori di opzioni”) avevano una notevole capacità di sopravvivenza, e io volevo essere uno di loro.

 

Da un punto di vista maggiormente pratico, l’esempio che egli porta ad un  certo punto sull’Asino di Buridano avrebbe potuto essere usate da John Nunn mentre cercava di convincerci a non riflettere troppo su una singola mossa.

 

La non linearità dei risultati casuali viene a volte utilizzata per interrompere situazioni di stallo. Prendiamo il problema della “spintarella non lineare”: un asino, assetato e affamato, viene piazzato a distanza esattamente uguale da due fonti di cibo e d’acqua. In questo quadro, l’asino morirebbe sia di sete che di fame, poiché sarebbe incapace di decidere da dove cominciare. Si aggiunga ora un po’ di casualità, sotto forma di una spintarella fortuita all’asino, che lo faccia avvicianre un po’ a una delle due fontio, non importa quale, e allontanare dall’altra. L’impasse sarebbe immediatamente rotta e il nostro felice asinello potrebbe prima sfamarsi e poi dissetarsi o viceversa.

 

Senza dubbio il lettore ha qualche volta giocato a una versione dell’asino di Buridano, lanciando una moneta per spezzare una di quelle piccole situazioni di stallo nelle quali si lascia che il caso aiuti il processo decisionale. Che sia la signora Fortuna a prendere la decisione, alla quale ci sottomettiamo lietamente.

 

Un nuovo libro di Taleb “Il cigno nero. Come l’improbabile governa la nostra vita” è stato appena pubblicato dal Saggiatore; ne riparleremo appena avremo avuto il tempo di leggerlo.

http://www.saggiatore.it/home_saggiatore.php?n=4&b_id=314&l=it

Il calcio di rigore_Due appendici

Posted in Libri, Matematica, Sport by lollipop on aprile 29, 2008

Un appendice letteraria e una matematica per questa serie di post sul tema del calcio di rigore. Quella letteraria riguarda Luca Ricci ed il suo primo romanzo appena pubblicato per Einaudi (ma Ricci aveva già pubblicato alcuni volumi di racconti). Il libro, “La persecuzione del rigorista” narra, in prima persona, la storia di un giovane prete, con molta ambizione ma con poca vocazione, che viene mandato a trascorrere i mesi invernali di praticantato in un paesino degli Appenini. Qui il giovane prete rimane ossessionato da un particolare capacità di un contadino-calciatore, che non ha molti talenti ma la caratteristica di non sbagliare mai un calcio di rigore.

Alcuni brani tratti dal libro paiono una sintesi perfetta dei contenuti strategici del gioco del calcio di rigore: “non guarda mai il portiere negli occhi né i suoi movimenti prima di tirare, coma fa la maggior parte dei rigoristi. Si comporta come se il portiere non esistesse e la porta fosse vuota. Non è molto preciso, però e potente e non cambia idea. Immagino che già averne una prima di tirare gli sembri troppo. Predilige i tiri rasoterra, ma dovunque decida di piazzare il pallone, non cambia idea all’ultimo momento.” E qualche pagina più avanti, quando il giovane prete, esasperato da questa infallibilità troppo perfetta e senza senso, decide di mettersi in porta, per provare ad essere diretto artefice di anche un solo errore: “il mio contadino prende la sua rincorsa e tira la sua puntata. Non vedo partire il pallone e non lo vedo arrivare, m’imbambolo mentre s’insacca alla mia destra schizzando sul ghiaccio bassso e teso. Tutto quell’affare mi è insostenibile. Recupero il pallone dal fondo della rete, tale e quale a tutti i portieri che mi hanno preceduto e verso cui ho imprecato. Sette metri di porta non sono uno scherzo da coprire. Gli lancio di nuovo il pallone. ….
“Due volte a destra, adesso dovresti cambiare ma non lo farai perché te l’ho detto. Mi viene così. Penso ad alta voce, cerco di razionalizzare. Fletto le gambe e mi metto sulle punte dei piedi per aiutare lo slancio. Parto molto prima che tiri, cerco di giocare d’anticipo: sono disposto a tutto, anche a barare. Arrivo sul palo di destra in concomitanza del pallone. In una partita ufficiale sarebbe un rigore da ripetere, ma siamo a Chiamonte e nessuno m’impedisce di riscrivere le regole. Il mio corpo ricade verso il basso, a intercettare un eventuale tiro rasoterra, mentre il pallone mi passa sopra la terra e s’insacca sotto l’incrocio: non ha cambiato il lato, ma l’altezza. Torno a raccogliere il pallone e glielo rilancio. … Ne segna altri dieci.”

“La persecuzione del rigorista” qui su IBS

L’appendice matematica riguarda più da vicino la teoria dei giochi. Avevamo detto che essa suggeriva che la scelta strategica da preferire per il portiere (ma anche per il rigorista) fosse quella di affidarsi al caso, lasciando così l’avversario nella più totale incertezza riguardo le proprie reali intenzioni. In realtà alcune ricerche, tra cui segnaliamo quella di  pubblicata su Review of Economic Studies “Professionals Play Minimax” che ci indica come in realtà i calciatori professionistici adottino proprio questa strategia di scelte casuali! Il risultato è un po’ sorprendente perché nelle dichiarazioni dei calciatori spesso e volentieri si possono leggere o ascoltare frasi come “mi sono tuffato sulla sinistra perché lui tira quasi sempre da quel lato” oppure “ho tirato al centro perché lui si butta sempre su un lato” dimostrando così di non sfuggire ai meccanismi psicologici delle anticipazioni. Ma se si prova a guardare le cose da una prospettiva di lungo periodo, il comportamento dei calciatori appare assolutamente casuale, ed anzi obbedisce in pieno al teorema Minimax di Neumann e alla teoria degli equilibri di Nash. Palacios-Huerta ha esaminato 1417 calci di rigori tirati nel periodo settembre 1995 – giugno 2000 nei più importanti campionati europei. In estrema sintesi, la teoria dei giochi ci dice questo: lo scopo del rigorista è quello di massimizzare la sua percentuale realizzativa, mentre lo scopo del portiere e quello di minimizzare la stessa percentuale; in pratica i calciatori sono destri o mancini e quindi possono ottenere una percentuale realizzativa migliore tirando dal lato “giusto” e cioè alla destra del portiere per i destri e alla sua sinistra per i mancini, col risultato teorico che per massimizzare la percentuale i tiri non dovrebbero essere equamente distribuiti tra destra e sinistra ma andrebbe preferito leggermente in lato “forte” (per ragioni tecniche, il tiro al centro viene considerato tiro sul lato forte). Se mettiamo insieme destri e mancini, interpretando con destra il lato forte e con sinistra il lato debole, le frequenze attese di Nash sono le seguenti: (GL percentuale di tiri sul lato debole, KL percentuale di tuffi sul lato debole)

 

GL (%)

1 – GL (%)

KL (%)

1 – KL (%)

Frequenze di Nash

41.99

58.01

38.54

61.46

Le frequenze rilevate nella pratica sono straordinariamente simili:

 

GL (%)

1 – GL (%)

KL (%)

1 – KL (%)

Frequenze rilevate

42.31

57.69

39.98

60.02

In pratica quello che succede è che i calciatori si affidano al caso (privilegiando leggermente il loro lato forte) utilizzando si,  il gioco delle anticipazioni reciproche, ma solo come generatore di casualità!

http://www.econ.brown.edu/fac/ipalacios/pdf/professionals.pdf

Un ringraziamento particolare a Fioravante Patrone per averci indirizzato verso questo link.

 

 

Il calcio di rigore_3

Posted in Matematica, Sport by lollipop on aprile 26, 2008
Gol o parata?

Gol o parata?

Ken Bray è un fisico che ha un certo punto ha deciso di aggiungere ai suoi interessi sulla meccanica quantistica quelli sul calcio, realizzando varie ricerche su diversi aspetti del gioco. Nel suo libro del 2006 “How to score” (edizione italiana Sonzogno 2006 “Perché l’Italia vinse ai rigori con l’Olanda e Beckham tira punizioni imparabili?”qui su IBS ) spiega come il calcio di rigore sia la situazione più semplice da analizzare nella biomeccanica del calcio. David Kerwin e lo stesso Ken Bray, integrando immagini tratte dal gioco reale con misurazioni effettuate su apposite pedane hanno determinato il limite di parata del portiere. In un tuffo orizzontale non è possibile raggiungere i pali, poiché i portieri, come nessun altro, non possono coordinare i muscoli della coscia e del polpaccio e nel caso che il tuffo avvenga rasoterra, bisogna aggiungere il problema dell’adeguata trazione tra la scarpa e il terreno. Lo scopo del calciatore dovrebbe essere quello di piazzare il pallone nella zona “imparabile”, che costituisce il 28% dell’intero specchio.

“Ovviamente, non è detto che il pallone scagliato all’interno della distanza di tuffo verrà sicuramente parato. In un rigore ben tirato il tempo che il pallone impiega ad entrare in rete è di circa mezzo secondo, mentre il tempo di reazione del portiere è circa un quarto di secondo. Se quindi il portiere attende il momento del tiro il pallone ha già coperto metà della distanza che lo separa dalla porta. Per avere una minima probabilità di parare il tiro, l’estremo difensore dovrebbe iniziare a tuffarsi prima del tiro ed è proprio questo che fa nascere l’angoscia del portiere prima del calcio di rigore, che la teoria dei giochi consiglia per l’appunto di guarire decidendo a caso da che parte tuffarsi. In realtà ci sono dei segnali che i professionisti sfruttano per intuire la direzione del tiro, quale la direzione del piede non calciante nel momento della battuta o l’inclinazione dei fianchi. Se lo scopo è quello di centrare la zona imparabile diventa molto importante la padronanza del gesto tecnico e la capacità di riprodurlo. Ogni rigorista dovrebbe allenarsi così tanto da essere assolutamente familiare con il gesto tecnico.

Quindi potremmo stabilire le seguenti regole: allenarsi a tirare il pallone verso la zona imparabile; scegliere l’angolazione del tiro, prima del rigore, ancora meglio prima della partita; non cambiare idea ne durante la partita ne tantomeno durante la rincorsa; non guardare il portiere; usare metodi di concentrazione appropriati. Da notare che in teoria, data l’esistenza della zona imparabile si potrebbe immaginare un tiratore che decide di tirare sempre dalla stessa parte, ma in realtà questa non sarebbe una decisione corretta per due motivi: 1) per forza di cose si tende a tirare un po’ più in qua della zona imparabile, tanto vale variare il tiro per aumentare le difficoltà del portiere; 2) più importante ancora, al portiere è permesso muoversi lungo la linea di porta, e potendo essere certi della direzione del tiro è facile per lui spingersi verso la ormai “ex” zona imparabile.
Alcuni giocatori tentano di spiazzare il portiere con delle finte, e tirando dalla parte opposta da quella scelta dal portiere. Ma ovviamente questo approccio non può funzionare molto bene per un portiere che segua la teoria dei giochi! Le regole che dovrebbe seguire un portiere sono in qualche modo speculari a quelle del tiratore: allenarsi a raggiungere quanto più spazio della “zona parabile”; scegliere la direzione in cui tuffarsi prima del rigore, ancora meglio prima della partita; non cambiare idea ne durante la partita ne durante la rincorsa del tiratore; non guardare il tiratore; dimostrare grande calma.
Ovviamente un portiere distratto non potrà che parare ben pochi rigori, ma in qualche modo nel suo caso è meno importante ricorrere a tecniche come quelle descritte prima per il tiratore, in quanto comunque l’esistenza della zona imparabile è un fatto! Insomma il duello che si svolge dagli undici metri non è alla pari ed in pratica le statistiche mostrano che la trasformazione in gol del calcio di rigore oscilla tra il settantacinque e l’ottanta per cento. O per dirla con le parole di una canzone dei Diaframma di Federico Fiuamani del 1994:
“Quando un portiere para un rigore
tu non puoi fare a meno
di mettere da parte i sospetti
e di volergli bene”.
(‘Il portiere’ dall’album Confidenziale)

L’immagine che illustra il post è di dani.f2, qui su flickr.

3_continua

Il calcio di rigore_2

Posted in Matematica, Sport by lollipop on aprile 25, 2008

Il calcio di rigore è un “gioco” nel gioco, ed anzi è una delle situazioni più studiate, a livello scientifico perlomeno, che a volte non sembra che calciatori, allenatori e media diano a questo elemento del gioco la giusta importanza. Ad un livello matematico la sfida tra tiratore e portiere è analizzabile con la teoria dei giochi, che ci indica che la cosa migliore da fare è introdurre nella propria condotta strategica una certa dose di incertezza: come spiega (dal punto di vista del portiere) nel suo libro “A caso” Ivar Ekeland: “Il regolamento gli proibisce di muoversi prima che la palla sia stata colpita, e il suo scatto dev’essere praticamente simultaneo al tiro perché egli possa avere qualche probabilità di fermarlo. Poiché, una volta fatta la sua scelta, non avrà il tempo se non di apportarvi correzioni minime, dovrà nei limiti del possibile anticipare il rigorista, decidendo per esempio da che parte buttarsi. Certi portieri cercano effettivamente di indovinare sulla base delle abitudini del tiratore, del suo stato di affaticamento e dei rigori da lui tirati in precedenza, da che parte batterà il rigore. Ma l’avversario non è necessariamente meno astuto di lui, e il tiratore potrà cercare di anticipare il portiere. Ecco perché alcuni rinunciano a impegnarsi nel gioco senza fine delle anticipazioni reciproche e si rimettono al caso, o all’impressione del momento…. Quel che risulta nel modo più chiaro da tutte queste situazioni è che non può esistere un metodo che garantisca il successo a uno dei due giocatori. Occorre infatti partire dal principio che essi sono entrambi razionali, che dispongono della stessa informazione, e che ognuno di loro è quindi in grado di riprodurre i ragionamenti dell’avversario. Se esistesse un argomento invincibile che convincesse per esempio il portiere a buttarsi a destra, questo argomento sarebbe in possesso anche del suo avversario, che, giudicandolo perfettamente convincente, anticiperebbe non meno perfettamente la reazione del portiere e tirerebbe dall’altra parte. Ecco perché il meglio che la teoria dei giochi abbia potuto fare nell’analisi di questo genere di situazioni è stato di introdurre nella decisione un elemento di caso: “Se il portiere tira a testa o croce da quale parte buttarsi, si immunizza per sempre contro la sottigliezza mentale dei suoi avversari e, se la sua carriera è abbastanza lunga, alla fine avrà avuto ragione una volta su due”. Egli deve però resistere alla tentazione di affidarsi alla propria sottigliezza mentale, la quale metterebbe immediatamente in moto il meccanismo delle anticipazioni. Se egli constata, per esempio, che i rigori vengono tirati sistematicamente alla sua destra, non deve perciò buttarsi meno spesso alla sua sinistra. Ogni mutamento di strategia da parte sua sarebbe infatti osservato rapidamente dall’avversario, che ne approfitterebbe per piazzare qualche tiro alla sua sinistra. In effetti, quei tiri sistematici da una sola parte potrebbero avere lo scopo di convincere il portiere ad abbandonare la sua strategia di testa o croce e a tornare a una gara di anticipazioni, dove l’avversario si sente più a suo agio. … il portiere lascia definitivamente i suoi avversari in una situazione d’incertezza; i loro ragionamenti più fini, le loro strategie più sottili non potranno impedirgli di avere ragione una volta su due”.
Questo ragionamento vale anche per il tiratore, ma forse un po’ meno, dato che da un punto di vista pratico egli può aspirare al tiro imparabile.
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“A caso. La sorte, la scienza e il mondo” di Ivar Ekeland 1991 edizione italiana Bollati Boringhieri 1992 (ristampa 1999). Su IBS qui.