Racconti matematici

Racconti matematici – A cura di Claudio Bartocci – Einaudi 2006

Avevo comprato questo libro nel 2006, dopo aver assistito alla presentazione del libro presso la libreria “La Torre di Abele” di Torino. Era presente il curatore, Claudio Bartocci, che è dicente di Fisica matematica presso l’Università di Genova.

Per qualche ragione il libro era sempre rimasto tra le cose da leggere, e poi per qualche altra ragione il libro è uscito dalla pila ed è finito in quella dei libri da presentare qui. Sono tanti i racconti da consigliare, ma due da soli meritano l’acquisto del volume. “Tennis, trigonometria e tornado” di David Foster Wallace, e di Emmanuel Carrère “Breve ritratto di Alan Turing”. Quest’ultimo non è propriamente un racconto, ma mantiene la promessa fatta nel titolo.

Qualche suggestione sparsa:

Jorge Luis Borges – Il libro di sabbia

Se lo spazio è infinito, siamo in qualunque punto dello spazio. Se il tempo è infinito, siamo in qualunque punto del tempo.

Stanislaw Lem – L’hotel straordinario

Ci ricordammo in questa occasione che quando il Senato di Roma, nel suo servilismo, si era offerto di rinomianre il mese di settembre “Tiberio” in onore dell’imperatore (ai mesi precedenti erano già stati dati i nomi di Giulio Cesare e Augusto), Tiberio aveva risposto causticamente: “E cosa offrirete al tredicesimo Cesare?”

Jorge Luis Borges – Esame dell’opera di Herbert Quain

 …. Poi, risolto ormai l’enigma, v’è un paragrafo vasto e retrospettivo che contiene questa frase: “Tutti credettero che l’incontro dei due giocatori di scacchi fosse stato casuale”. Questa frase lascia capire che la soluzione è erronea. Il lettore, inquieto, rivede i capitoli sospetti e scopre un’altra soluzione, la vera. Il lettore di questo libro singolare è più perspicace del detective. 

David Foster Wallace – Tennis, trigonometria e tornado

 ….. il tennis da manuale non sia altro che geometria piana. È come giocare a biliardo con palle che non ne vogliono sapere di stare ferme. È come giocare a scacchi correndo. Sta all’artiglieria e agli attacchi aerei come il football sta alla fanteria e alla guerra di trincea.

La mossa del cavallo

La mossa del cavallo da secoli appassiona anche i matematici: se ne sono occupati, tra gli altri, De Moivre, Dudeney, e soprattutto, Eulero. In particolare quello che appassiona i matematici è il viaggio del cavallo: bisogna trovare un percorso che porti il cavallo ad occupare tutte le case della scacchiera partendo da una casella qualsiasi e passando una e una sola volta su ogni altra casella. Se la casella di pratenza e quella di arrivo sono ancora unite fra loro dalla mossa del cavallo, il viaggio si dice chiuso, altrimenti aperto. De Moivre consigliò di cercare di “occupare” prima la fascia esterna, senza entrare, salvo i casi di necessità assoluta, nel quadrato centrale 4X4.

Eulero propose una strategia che permette di porre rimedio ad eventuali errori, recuperando caselle che fossero rimaste fuori dal percorso, purchè queste non siano più di quattro.

Generalizzando, ci si può chiedere:

-         si può disegnare un cammino chiuso in cui tutte le possibili mosse siano tracciate una ed una sola volta?

-         È possibile, per il cavallo, occupare tutte le caselle di una scacchiera nxn ciascuna esattamente una volta prima di ritornare sulla stessa casella da cui è partito?

In termini di teoria dei grafi il primo quesito equivale a chiedersi se è possibile costruire un cammino euleriano nel grafo.

“Cammino” è una sequenza finita ed alternata di vertici e spigoli; un cammino è chiuso quando il primo e l’ultimo verso sono coincidenti ed è detto euleriano quando la sequenza che lo individua contiene ogni spigolo del grafo una ed una sola volta.

Alla prima domanda si risponde di sì, solo quando N = 3

Il secondo problema è invece un problema di grafi hamiltoniani, ed insomma, se ne volete sapere di più, consultate la rete! (tra i tanti articoli e siti che parlano del problema, segnaliamo il sito www.matematicamente.it e l’articolo di Gabriella Zamillo).

Concludiamo con un esercizio, che è stato oggetto di una prova d’esame all’Università di Padova.

Esercizio

Si consideri la scacchiera del gioco degli scacchi e il pezzo cavallo. La mossa del cavallo consiste in una L, cioè se la casella in cui esso si trova ha coordinate (0,0), le caselle da esso raggiungibili sono esprimibili dalle coordinate (u,v) che appartengono all’insiema (2,1), (1,2), (-1,2), (-2,1), (-1,-2), (1,-2), (2,-1).

Si assuma una scacchiera illimitata.

 Dato un cavallo in posizione (0,0) che ha come goal quello di raggiungere la casella (x,y) nel minor numero di mosse possibili, si dica come, senza costruire una soluzione, si possa decidere se il numero di mosse necessario sia pari o dispari.

 Risposta: ad ogni mossa il cavallo passa da una casella di un colore ad una casella di colore diverso. Quindi se la casella da raggiungere è dello stesso colore della casella (0,0), allora è necessario un numero pari di mosse, altrimenti un numero dispari. Matematicamente tale condizione si può esprimere andando a verificare se IxI + IyI è pari o dispari.

Il gioco dell’asta di un dollaro

Sapersi fermare al momento giusto è una grande capacità. Esistono numerosi esperimenti di psicologia comportamentale che illustrano come invece gli esseri umani si fanno trascinare in spirali da cui non riescono più a uscire.

Uno dei più famosi di questi giochi è quello descritto negli anni Settanta del secolo scorso da Martin Shubik, professore della Yale University.

Di questo gioco, ne parlano (solo riferendosi alla nostra biblioteca) almeno Avinash Dixit e Barry Nalebuff in “Io vinco tu perdi”, Laszlo Mero in “Calcoli morali” e Alberto Gandolfi in “La foresta delle decisioni”.

Il gioco è molto semplice: viene messa all’asta una banconota da un dollaro. Prezzo iniziale di un cent, e regola aggiuntiva che il banditore trattiene anche la cifra proposta dal secondo offerente. Shubik nelle sue pubblicazioni ha fatto notare che in base ai suoi esperimenti in occasioni di “raduni sociali” il biglietto da un dollaro veniva venduto in media per 3.40 dollari.

Il gioco è stato riproposto con numerose varianti in situazioni controllate e i risultati sono stati grossomodo sempre gli stessi.

Uno dei punti più importanti è quando il prezzo del dollaro supera i 50 centesimi, a quel punto è probabile che qualcuno si accorga che il banditore inizia a guadagnarci, ma qualcuno si trova a pensare, “posso ancora guadagnarci anch’io”, offrendo meno di un dollaro. Ma poiché c’è qualcuno che non vuole perdere la sua offerta, è molto probabile che si superi la soglia di un dollaro.

Entra in gioco il fenomeno psicologico dell’“Ho investito troppo per lasciare” (il titolo di un libro di A.I. Teger è “Too much invested to quit”, mentre un capitolo del libro di Gandolfi si intitola “Ho investito troppo per abbandonare proprio adesso”).
Laszlo Mero fa notare numerosi esempi del gioco nella vita quotidiana: indecisi tra due decisioni, ne prendiamo una e poi rimaniamo ad essa legati anche quando è chiaro che sarebbe preferibile cambiare. Aspettiamo l’autobus sempre più a lungo, anche se siamo in ritardo e non ci decidiamo a prendere un taxi, guardiamo un film noioso, e più lo guardiamo e più ci sentiamo in dovere di arrivare fino alla fine. Anche gli scioperi spesso seguono la logica della vendita all’asta di un dollaro, così come le gare d’appalto.

Il gioco della scommessa di un dollaro ha due soluzioni. Una è la collaborazione. I giocatori si accorgono subito del trucco insito del gioco, qualcuno offre un cent e nessuno rilancia. Questa soluzione è proposta da Dixit e Nalebuff: “Potreste pensare che questa storia non fa che comprovare la stoltezza degli studenti di Yale. Ma l’escalation degli arsenali di armi nucleari delle superpotenze è forse diversa? Entrambe sono incorse in costi di migliaia di dollari alla ricerca della vittoria del dollaro. La collusione, che in questo caso significa convivenza pacifica, rappresenta una soluzione molto più redditizia”.
L’altra soluzione, proposta da Laszlo Mero, consiste nell’affidarsi al caso. Ogni giocatore dovrebbe scegliere la sua offerta tra le opzioni ragionevoli in maniera casuale e poi non accettare il gioco dei rilanci.

Insomma l’unica cosa da non fare è quella di scivolare nella sindrome di Macbeth….

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Turing, Lasca e Backgammon

Sul sito del Centro Studi Scacchistici Turing Duchamp, la segnalazione di un libro di Leavitt su Turing, quella di Lasca,  un gioco ideato da Emanuel Lasker, nel giorno dell’annivesario della sua nascita,  e la segnalazione di un libro sul backgammon di Dario De Toffoli.

Genio scacchistico

La Scuola Normale di Pisa

I “Bocconi Sport Days”, le olimpiadi dei cervelloni a Volterra e qualche considerazione, con l’aiuto del libro di Jonathan Levitt “Il genio negli scacchi” sul rapporto tra intelligenza e scacchi.

Qui su Turingduchamp.
Nella foto la Scuola Normale di Pisa

Il manoscritto di Luca Pacioli

Luca Pacioli impegnato con uno dei teoremi di Euclide

Da venerdì 3 a domenica 5 ottobre, 3 giorni di eventi scacchistici presso le Scuderie di Palazzo Coronini Cronberg, a Gorizia, in occasione della presentazione al pubblico del manoscritto scacchistico di Luca Pacioli.
Nell’immagine “Il ritratto di Luca Pacioli”, esposto al Museo di Capodimonte (Napoli), attribuzione dubbia a Jacopo de’Barbari. Continua su turingduchamp

Il dilemma del doping

 

L’articolo di copertina del numero di “Le Scienze” di giugno 2008 è dedicato al “Dilemma del doping”: “Barare conviene. La teoria dei giochi spiega perché il doping è così diffuso in sport come atletica e ciclismo. E suggerisce come sconfiggerlo”.

Il concetto centrale che Michael Shermer esprime nell’articolo è che “Nella teoria dei giochi, una situazione in cui nessun giocatore ha qualcosa da quadagnare cambiando la propria strategia è definita equilibrio di Nash … Per mettere fine al doping, il gioco si dovrebbe ristrutturare in modo che la competizione pulita sia in una situazione di equilibrio di Nash. Nella matrice del gioco, gli organi di controllo dovrebbero cambiare i valori di payoff. Quando gli altri gioatori rispettano le regole, il payoff per fare altrettanto deve essere maggiore rispetto al payoff che si ottiene barando ….”

Questo è quello che ci suggerisce la teoria dei giochi, e per raggiungere questo obiettivo, Shermer propone i seguenti suggerimenti:

- immunità per il doping assunto in passato

- aumento del numero di atleti controllati

- ricompensa per gli scienziati che sviluppano test per nuove sostanze

- aumento delle sanzioni

- squalificare tutti i membri di una squadra se uno solo è positivo

 

…” credo che questi cambiamenti riporterebbero la psicologia del gioco dal tradimento alla cooperazione”.

 

Michael Shermer è stato un ciclista dilettante di alto livello, è ora giornalista e scrittore.

 

 

http://lescienze.espresso.repubblica.it/articolo/Il_dilemma_del_doping/1331466

 

http://www.michaelshermer.com/

 

http://www.skeptic.com/

Zio Petros e la congettura di Goldbach

Il gioco degli scacchi viene, a ragione, spesso associato con la disciplina della matematica. Solo che se poi si provasse a chiedere ai più in che cosa consiste esattamente questa relazione le risposte comincerebbero probabilmente a essere vaghe. Qui non vogliamo approfondire queste risposte ma segnalare un anello che contribuisce a rinsaldare questo legame: si tratta di un romanzo del 1992 dello scrittore greco Apostolos Doxiadis “Zio Petros e la congettura di Goldbach” pubblicato in Italia in prima edizione nel 2000 da Bompiani. 

http://www.turingduchamp.org/detnotizia.asp?id=138&argomento=70&page=1

Il caso_4 (Taleb e l’asino di Buridano)

 

Dell’utilizzo razionale del caso, Nassim Nicholas Taleb, trader e autore del libro “Giocati dal caso”, ha fatto un vero e proprio strumento di lavoro.

 

Taleb stesso ci dice che la migliore descrizione della mia attività nei mercati è “scommesse asimmetriche”. Cerco cioè di beneficiare degli eventi rari, eventi che non tendono a ripetersi frequentemente ma che di conseguenza, quando avvengono, pagano molto bene. Provo a guaadagnare in modo infrequente, quanto più infrequentemente possibile. … Uno degli strumenti più utilizzati da Taleb, per “giocare con l’incertezza”, è il metodo di Montecarlo. In pratica, Taleb, per prendere le sue decisioni, non tira uno, ma milioni di dadi!

 

Lasciamo spiegare allo stesso Taleb come si è originata la sua attività di scommettirore asimmetrico:

Il mio motore Montecarlo mi ha permesso di vivere diverse avventure interessanti. Mentre i miei colleghi erano immersi in motizie, annunci di banche centrali, rapporti sugli utili, previsioni economiche, risultati sportivi, e, non ultime, lotte di potere, iniziai a giocare con il motore in campi confinanti con la probabilità finanziaria. Per il dilettante, un naturale campo di applicazione è la biologia evoluzionistica: l’universalità del suo messaggio e le sue applicazioni ai mercati la rendono molto interessante. Cominciai a simulare popolazioni di animali mutanti chiamati Zorglub, soggette a condizioni climatiche variabili ,e a osservare le conclusioni più inaspettate. Il mio scopo, come dilettante puro in fuga dalla noia della vita professionale, era semplicemente di sviluppare un’intuizione per questo tipo di eventi, il tipo di intuizione che i dilettanti riescono a formarsi senza addentrarsi nella dettagliatissima sofisticazione del ricercatore professionista. … Naturalmente, una simualzione analoga alla fabbricazione di una popolazione di Zorglub consisteva nella creazione sotto regimi di mercato, per esempio boom e crolli, di una popolazione di “rialzisti idioti”, “ribassisti impetuosi” e trader prudenti, e nell’esaminare la loro sopravvivenza a breve e a lungo termine. In tale struttura, i “rialzisti idioti” che si arricchivano durante il boom usavano i guadagni per acquistare altre azioni, facendo rialzare ulteriormente i prezzi, fino alla loro disfatta finale. I trader ribassisti, per parte loro, non riuscivano neanche ad arrivarci al crollo. I miei modelli mostravano che quasi nessuno riusciva a guadagnare: i ribassisti cadevano come mosche durantre il boom, mentre i rialzsti finivano massacrati quando la musica si fermava e i profitti di carta, non realizzati, svanivano. Ma c’era un’eccezione: alcuni di quelli che facevano trading di opzioni (li chiamavo “compratori di opzioni”) avevano una notevole capacità di sopravvivenza, e io volevo essere uno di loro.

 

Da un punto di vista maggiormente pratico, l’esempio che egli porta ad un  certo punto sull’Asino di Buridano avrebbe potuto essere usate da John Nunn mentre cercava di convincerci a non riflettere troppo su una singola mossa.

 

La non linearità dei risultati casuali viene a volte utilizzata per interrompere situazioni di stallo. Prendiamo il problema della “spintarella non lineare”: un asino, assetato e affamato, viene piazzato a distanza esattamente uguale da due fonti di cibo e d’acqua. In questo quadro, l’asino morirebbe sia di sete che di fame, poiché sarebbe incapace di decidere da dove cominciare. Si aggiunga ora un po’ di casualità, sotto forma di una spintarella fortuita all’asino, che lo faccia avvicianre un po’ a una delle due fontio, non importa quale, e allontanare dall’altra. L’impasse sarebbe immediatamente rotta e il nostro felice asinello potrebbe prima sfamarsi e poi dissetarsi o viceversa.

 

Senza dubbio il lettore ha qualche volta giocato a una versione dell’asino di Buridano, lanciando una moneta per spezzare una di quelle piccole situazioni di stallo nelle quali si lascia che il caso aiuti il processo decisionale. Che sia la signora Fortuna a prendere la decisione, alla quale ci sottomettiamo lietamente.

 

Un nuovo libro di Taleb “Il cigno nero. Come l’improbabile governa la nostra vita” è stato appena pubblicato dal Saggiatore; ne riparleremo appena avremo avuto il tempo di leggerlo.

http://www.saggiatore.it/home_saggiatore.php?n=4&b_id=314&l=it

Il calcio di rigore_Due appendici

Un appendice letteraria e una matematica per questa serie di post sul tema del calcio di rigore. Quella letteraria riguarda Luca Ricci ed il suo primo romanzo appena pubblicato per Einaudi (ma Ricci aveva già pubblicato alcuni volumi di racconti). Il libro, “La persecuzione del rigorista” narra, in prima persona, la storia di un giovane prete, con molta ambizione ma con poca vocazione, che viene mandato a trascorrere i mesi invernali di praticantato in un paesino degli Appenini. Qui il giovane prete rimane ossessionato da un particolare capacità di un contadino-calciatore, che non ha molti talenti ma la caratteristica di non sbagliare mai un calcio di rigore.

Alcuni brani tratti dal libro paiono una sintesi perfetta dei contenuti strategici del gioco del calcio di rigore: “non guarda mai il portiere negli occhi né i suoi movimenti prima di tirare, coma fa la maggior parte dei rigoristi. Si comporta come se il portiere non esistesse e la porta fosse vuota. Non è molto preciso, però e potente e non cambia idea. Immagino che già averne una prima di tirare gli sembri troppo. Predilige i tiri rasoterra, ma dovunque decida di piazzare il pallone, non cambia idea all’ultimo momento.” E qualche pagina più avanti, quando il giovane prete, esasperato da questa infallibilità troppo perfetta e senza senso, decide di mettersi in porta, per provare ad essere diretto artefice di anche un solo errore: “il mio contadino prende la sua rincorsa e tira la sua puntata. Non vedo partire il pallone e non lo vedo arrivare, m’imbambolo mentre s’insacca alla mia destra schizzando sul ghiaccio bassso e teso. Tutto quell’affare mi è insostenibile. Recupero il pallone dal fondo della rete, tale e quale a tutti i portieri che mi hanno preceduto e verso cui ho imprecato. Sette metri di porta non sono uno scherzo da coprire. Gli lancio di nuovo il pallone. ….
“Due volte a destra, adesso dovresti cambiare ma non lo farai perché te l’ho detto. Mi viene così. Penso ad alta voce, cerco di razionalizzare. Fletto le gambe e mi metto sulle punte dei piedi per aiutare lo slancio. Parto molto prima che tiri, cerco di giocare d’anticipo: sono disposto a tutto, anche a barare. Arrivo sul palo di destra in concomitanza del pallone. In una partita ufficiale sarebbe un rigore da ripetere, ma siamo a Chiamonte e nessuno m’impedisce di riscrivere le regole. Il mio corpo ricade verso il basso, a intercettare un eventuale tiro rasoterra, mentre il pallone mi passa sopra la terra e s’insacca sotto l’incrocio: non ha cambiato il lato, ma l’altezza. Torno a raccogliere il pallone e glielo rilancio. … Ne segna altri dieci.”

“La persecuzione del rigorista” qui su IBS

L’appendice matematica riguarda più da vicino la teoria dei giochi. Avevamo detto che essa suggeriva che la scelta strategica da preferire per il portiere (ma anche per il rigorista) fosse quella di affidarsi al caso, lasciando così l’avversario nella più totale incertezza riguardo le proprie reali intenzioni. In realtà alcune ricerche, tra cui segnaliamo quella di  pubblicata su Review of Economic Studies “Professionals Play Minimax” che ci indica come in realtà i calciatori professionistici adottino proprio questa strategia di scelte casuali! Il risultato è un po’ sorprendente perché nelle dichiarazioni dei calciatori spesso e volentieri si possono leggere o ascoltare frasi come “mi sono tuffato sulla sinistra perché lui tira quasi sempre da quel lato” oppure “ho tirato al centro perché lui si butta sempre su un lato” dimostrando così di non sfuggire ai meccanismi psicologici delle anticipazioni. Ma se si prova a guardare le cose da una prospettiva di lungo periodo, il comportamento dei calciatori appare assolutamente casuale, ed anzi obbedisce in pieno al teorema Minimax di Neumann e alla teoria degli equilibri di Nash. Palacios-Huerta ha esaminato 1417 calci di rigori tirati nel periodo settembre 1995 – giugno 2000 nei più importanti campionati europei. In estrema sintesi, la teoria dei giochi ci dice questo: lo scopo del rigorista è quello di massimizzare la sua percentuale realizzativa, mentre lo scopo del portiere e quello di minimizzare la stessa percentuale; in pratica i calciatori sono destri o mancini e quindi possono ottenere una percentuale realizzativa migliore tirando dal lato “giusto” e cioè alla destra del portiere per i destri e alla sua sinistra per i mancini, col risultato teorico che per massimizzare la percentuale i tiri non dovrebbero essere equamente distribuiti tra destra e sinistra ma andrebbe preferito leggermente in lato “forte” (per ragioni tecniche, il tiro al centro viene considerato tiro sul lato forte). Se mettiamo insieme destri e mancini, interpretando con destra il lato forte e con sinistra il lato debole, le frequenze attese di Nash sono le seguenti: (GL percentuale di tiri sul lato debole, KL percentuale di tuffi sul lato debole)

	GL (%)	1 – GL (%)	KL (%)	1 – KL (%)
Frequenze di Nash	41.99	58.01	38.54	61.46

Le frequenze rilevate nella pratica sono straordinariamente simili:

	GL (%)	1 – GL (%)	KL (%)	1 – KL (%)
Frequenze rilevate	42.31	57.69	39.98	60.02

In pratica quello che succede è che i calciatori si affidano al caso (privilegiando leggermente il loro lato forte) utilizzando si,  il gioco delle anticipazioni reciproche, ma solo come generatore di casualità!

http://www.econ.brown.edu/fac/ipalacios/pdf/professionals.pdf

Un ringraziamento particolare a Fioravante Patrone per averci indirizzato verso questo link.